Çавракăш

Çавракăш тата унăн тĕпĕ

Çавракăш Евклид геометринче — тӳремĕн тĕпĕ ятлă пĕр пăнчăран пĕр тан уйрăлнă пăнчăсен геометриллĕ вырăнĕ. Çавракăшăн тĕпĕнчен унăн ытти пăнчисене çитмелли хушши çак çавракăшăн радиусĕ пулать.

Çавракăш — иккĕмĕш йĕркери ахаль тӳрем кукрашки, пайăр тĕслĕхĕ — эллипс тата, çаплах иккĕмĕш йĕркелĕхри урăх кукрашкасем (парабола, гипербола), грек ячĕ — пири́бола.

Çыхăннă ăнлавсем

• Çавракăшăн тĕпне унăн кирек епле пăнчине çыхăнтаракан татăка (çаплах çак татăкăн вăрăммăшне те), çавракăшăн радиусĕ теççĕ.

• Çавракăшпа карталанă тӳрем пайĕ çавра пулать.

• Çавра сектор е ахаль сектор тесе çавран пĕкĕпе тата çавран тĕпĕнчен тухакан икĕ радиус-татăкĕпе карталанă пайне палăртаççĕ.

• Çавракăшăн икĕ пăнчине çыхăнтаракан татăка хорда теççĕ. Çавракăшăн тĕпĕ урлă çырнă хордăна диаметр теççĕ.

• Çăвракăшăн икĕ кирек епле пăнчи ăна иккĕне пайлаççĕ. Çак пай çавракăш пĕки пулать. Пикен виçи унăн тивĕçлĕ тĕп кĕтесĕн виçи пĕр тан. Çак пĕкĕне çыхăнтаракан татăк диаметр пулсан, ăна çурçавракăш теççĕ.

• Сегмент тесе çавран пĕкĕпе тата ăна туртакан хордипе карталанă пайне палăртаççĕ.

• Çавракăшпа пĕртен-пĕр пĕрлĕхлĕ пăнчăллă тӳрĕне çавракăшăн перĕнекенĕ теççĕ, пĕрлĕхлĕ пăнчине çавракăшпа тӳрĕн перĕнӳ пăнчи теççĕ.

• Çавракăшăн икĕ пăнчи урлă çырнă тӳрĕне касакан теççĕ.

• Çавракăшăн тӳремлĕ кĕтесĕн тӳпи çавракăшăн тĕпĕнче вырнаçнă пулсан ăна тĕпĕллĕ кĕтес теççĕ.

• Кĕтесĕн тӳпи çавракăш çинче выртать тата унăн енĕсем çавракăша касса хураççĕ пулсан, ăна çавракăш ăшне çырнă кĕтес теççĕ.

• Пĕрлехи тĕпĕллĕ икĕ çавракăша пĕр тĕпĕллĕ (концентрикăллă) теççĕ.

• Çавракăшăн вăрăммăшне унăн диаметр çине пайласан яланхиллĕ хисеп пулать. Çак пайлану палли π хисепĕ шутланать.

Пахалăхĕсем

• Тӳрĕпе çавракăшăн: пĕрлĕхлĕ пăнчă çук; пĕр пĕрлĕхлĕ пăнчă (перĕнекен тӳрĕ); икĕ пĕрлĕхлĕ пăнчă (касакан тӳрĕ).

• Пĕр тӳрĕ çинче вырнаçман виçĕ пăнчă урлă пĕртен-пĕр çавракăш çырма пулать.

• Икĕ çавракăшсен перĕнӳн пăнчи çак икĕ çавракăшсен тĕпĕсем урлă çырнă тӳрĕ çинче.

• $R$ радиуслă çавракăшăн вăрăммăшне $C= 2\pi R.$ хормулăпа шутласа кăларма пулать.

• $R$ радиуслă çавран лаптăкне $S= \pi R^2.$ хормулăпа шутлаççĕ.

Танлаштарусем

Декарт координачĕсем

$M = \left(x_M, y_M \right)$ тĕпĕллĕ пăнчăллă тата $r$ радиуслă çавракăша çакăн пек танлаштарупа палăртса хураççĕ:

$\left( x-x_M\right)^2 + \left(y-y_M \right)^2 = r^2$

эхер $M$ координатсен пуçламăшĕ, танлаштару çапла курăнать:

$x^2 + y^2 = r^2.\,$

Поляр координачĕсем

Эхер çавракăш тĕпĕн полярлă координачĕсем $M=(r,\alpha)$, ĕнтĕ $r$ радиуслă çавракăш танлаштарупа:

$\rho(\varphi)=2r\cos (\varphi-\alpha)$, $0\leq\varphi<2\pi$

эхер $M$ координатсен пуçламăшĕ, ĕнтĕ танлаштару çапла пулать:

$\rho=r.$

Çыхăнуллă тӳрем

Çыхăнуллă тӳремре çавракăша çак хормула кăтартать:

$|z - z_0| = r\,$

е параметрăллă

$z_0 + r e^{it},\ t\in\R$.

График евĕр

Координатсен декарт йĕркинче çавракăш функцин графикĕ пулсан , ăна икĕ функцисен пĕрлештернĕ графикĕсем: ??????????!!!!!! тĕрĕсле!!!

$y = y_M \pm \sqrt{r^2 - (x - x_M )^2}.$

эхер $y_M = x_M=0$, функцисем çапла пулаççĕ:

$y = \pm \sqrt{r^2 - x^2 }.$

Параметăрлă кăтартни

Çавракăша координатсемпе параметăрлă çырса кăтартни:

$x = x_M + r \cos \varphi$

$y = y_M + r \sin \varphi$

кунта $x$ тата $y$ координачĕсене $\varphi$ $0 \le \varphi < 2 \pi$ диапазонри пĕтĕм хисеп паллисене йышăнма пултаракан параметрпа кăтартаççĕ.

Çавăн пекех пăхăр

• Ăшлăхлă çырнă çавракăш
• Тулашлă çырнă çавракăш
• Аполлони çавракăшĕ
• Эллипс
• Каустика
• Арбелос

Вуламалли

• Математическая энциклопедия в пяти томах. — М: Советская энциклопедия, 1983.
• Маркушевич А. И. Замечательные кривые, выпуск 4. — М: Гостехиздат, 1952.
• Корн Г., Корн Т. Свойства окружностей, эллипсов, гипербол и парабол // Справочник по математике. — 4-мĕш кăларăм. — М: Наука, 1978. — С. 70.