Çур ен формули

Сферăлла виçкĕтеслĕх

Çур ен формули, сферăалла тригонометрире, унпа сферăлла виçкĕтеслĕхсене шутлама усă кураççĕ.

Сылтăмри çÿлти ÿкерчĕк валли çакнашкал ăнлантарусем кирлĕ:

• α, β, γ — сферăлла виçкĕтеслĕх кĕтесĕсем, вĕсене енсем выртакан лаптаксем хушшинчи икĕ хысаклă кĕтессен пĕлтерĕшĕсемпе виçеççĕ.
• a, b, c — α, β, γ кĕтессене хирĕçле енсен тăршшĕсем, вĕсене çавсем çине тĕревленекен варринчи кĕтессен пĕлтерĕшĕсемпе виçеççĕ.

• $S={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +\gamma )$

виçкĕтеслĕх кĕтесĕсен çур сумми, тата, кунсăр пуçне, тепĕр символ хушатпăр:

• $R={\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}}}.$

Косинуссен теоремипе килĕшÿллĕн:

$\cos a={\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}.$

Вара иккĕлле кĕтес формулине кура (тымар плюслă, мĕншĕн тесен ен 180 градусран пĕчĕкрех):

$\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\sin \beta \sin \gamma -\cos \beta \cos \gamma -\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}.$

Аргументсене хушассин формулипе тата функцисен суммин улшăвĕпе усă курса:

$\sin {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {-\cos(\beta +\gamma )-\cos \alpha }{2\sin \beta \sin \gamma }}}={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.$

Аналогилле майпа çур енĕн косинусĕ валли:

$\cos {\frac {a}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos a}{2}}}={\sqrt {\frac {\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}{\sin \beta \sin \gamma }}}.$

Çавăнпа та

$\operatorname {tg} {\frac {a}{2}}={\frac {\sin {\frac {a}{2}}}{\cos {\frac {a}{2}}}}={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-\alpha )}{\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}}}=\cos(S-\alpha ){\sqrt {\frac {-\cos S}{\cos(S-\alpha )\cos(S-\beta )\cos(S-\gamma )}}}=R\cos(S-\alpha ).$

Çапла вара:

$\operatorname {tg} {\frac {a}{2}}=R\cos(S-\alpha ).$

Урăх енсем тĕлĕшпе те çавăн майлă.

$\operatorname {tg} {\frac {b}{2}}=R\cos(S-\beta ).$

$\operatorname {tg} {\frac {c}{2}}=R\cos(S-\gamma ).$

Çаăн пекех

• Косинуссен теореми (сферăлла геометри)
• Тригонометрири çавахлăхсем