Тетраци

Тетра́ци (гиперопера́тор-4), математикăра — капаша хăпртасси хыççăнхи гипероператор, экспонентăн итерацилле функцийĕ.

Тетрацие çав тери пысăк хисепсене çырса кăтартма усă кураççĕ.

Ку, «тетраци» термин, «тетра-» (тăваттă) тата «итераци» (тепĕрлĕхлев) компонентсенчен тăрать, ăна чи малтан акăлчан математикĕ Рубен Гудстейн 1947-мĕш çулта сĕннĕ

Хуть те мĕнле минуссăр $a>0$ чăн хисепшĕн тата минуслă мар тулли $n\geqslant 0$ хисепшĕн, ${}^{n}a$ тетрацие рекуррентлăн çапла палăртма пулать:

• ${}^{0}a=1,$
• ${}^{n}a=a^{({}^{n-1}a)},\,n>0.$

Ăнах ак çапла та çырăпăр:

${^{n}a}:={\begin{cases}1&{\text{енчен }}n=0\\a^{\left(^{(n-1)}a\right)}&{\text{енчен }}n>0\end{cases}}$

Е, Кнут ăнкай нотацийĕпе килĕшÿллĕн:

${a\uparrow \uparrow n}:={\begin{cases}1&{\text{енчен }}n=0,\\a^{a\uparrow \uparrow (n-1)}&{\text{енчен }}n>0,\end{cases}}$

Çапла вара, ку палăртав çыраври тетрацие шутлассине, капаштарăва, чи аякри шайсенчен пуçласа (сылтăмран сулахаялла) тума хистет.

${}^{4}2=2^{2^{2^{2}}}=2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}=2^{(2^{4})}=2^{16}=65536$,

Е:

${}^{5}2=2^{2^{2^{2^{2}}}}=2^{\left(2^{\left(2^{\left(2^{2}\right)}\right)}\right)}=2^{(2^{16})}=2^{65536}\approx 2.003529930406846\cdot 10^{19728}$.

Çав вăхăтрах, капаштару ассоциативлă операци пулманнине кура, хирĕçле йĕркепе каланăлăха шутлани урăх результат патне илсе çитерет:

$2^{2^{2^{2}}}\neq \left((2^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2}=2^{8}=256$,

Е:

$2^{2^{2^{2^{2}}}}\neq \left(((2^{2})^{2})^{2}\right)^{2}=2^{2\cdot 2\cdot 2\cdot 2}=2^{16}=65536$.

Ĕнтĕ капаш пашнисене, урăхла ятарлă кăтарту çук пулсан, яланах çÿлтен аялалла (сылтăмран сулахаялла) шутлас пулать. Кун пирки манмалла мар.

Тетраци — гипероператор

Тетраци, йĕркипе шутласан, тăваттăмĕш гипероператор пулса тăрать (1,2,3-мĕшĕсем — хушасси, хутласси тата капаша хăпртасси):

1. Хушасси:

   $a+b=a+\underbrace {1+1+\ldots +1} _{b};$

2. Хутласси:

   $a\times b=\underbrace {a+a+\ldots +a} _{b};$

3. Капаша хăпартасси:

   $a^{b}=\underbrace {a\times a\times \ldots \times a} _{b};$

4. Тетраци:

   ${^{b}a}=\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}}} _{b}.$

Кашни операци — умĕнхин итерацийĕ (тепĕрлĕхлевĕ).

Литература

• Кузнецов Д. Тетрация как специальная функция // Владикавказский математический журнал. — 2010.

Каçăсем

• Сайт про тетрацию Эндрю Робинса.
• Сайт про тетрацию Даниэля Гэйслера.
• Форум по обсуждению тетрации.