«Википеди» ирĕклĕ энциклопединчи материал
Тĕп функцисен чиккисен йышĕ — паллăрах функцисен чиккисене, кулленхи ĕçлевлĕхре усă курас тĕллевпе, черетлесе тухни тата, çавăн пекех, вĕсене тупмалли тĕп йĕркевсем . Тĕслĕхсенчи a тата b x тĕлĕшĕнчи константтăсем пулса тăраççĕ.
Енчен
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
L
1
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=L_{1}}
тата
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}g(x)=L_{2}}
пулсан, вара:
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
±
g
(
x
)
]
=
L
1
±
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L_{1}\pm L_{2}}
lim
x
→
c
[
f
(
x
)
g
(
x
)
]
=
L
1
×
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L_{1}\times L_{2}}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
1
L
2
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}}
, енчен
L
2
≠
0
{\displaystyle L_{2}\neq 0}
пулсан
lim
x
→
c
f
(
x
)
a
=
L
1
a
{\displaystyle \lim _{x\to c}\,f(x)^{a}=L_{1}^{a}}
, енчен сылтăм пайри хисеп тата сулахайри функцин x=c пăнчă таврашĕнчи пĕлтерĕшĕсем чăнахах пур пулсан.
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
, енчен
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0}
, е
lim
x
→
c
|
g
(
x
)
|
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to c}|g(x)|=+\infty }
(Лопиталь йĕркевĕ )
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
=
f
′
(
x
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}
(функцин тăхăмĕн палăртавĕ )
lim
h
→
0
(
f
(
x
+
h
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
lim
h
→
0
(
f
(
e
h
x
)
f
(
x
)
)
1
h
=
exp
(
x
f
′
(
x
)
f
(
x
)
)
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\left({f(e^{h}x) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}
Паллă константтăсемпе çыхăннă чикĕсем [ тӳрлет | кодне тӳрлет ]
lim
x
→
+
∞
(
1
+
1
x
)
x
=
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
(Непер константти ) — Иккĕмĕш чаплă чикĕ
lim
x
→
+
∞
(
1
−
1
x
)
x
=
1
e
{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
lim
n
→
∞
n
n
!
n
=
e
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
2
+
...
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\text{...}}+{\sqrt {2}}}}}}}} _{n}=\pi }
(пи ), шалти
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
радикала
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
радикалпа ылмаштарсан, вара чикĕ
2
π
3
{\displaystyle {2\pi \over 3}}
чухлĕ пулать
Ĕнентерÿ
Пĕррремĕш чаплă чикĕпе усă курса
lim
n
→
∞
2
n
+
1
sin
π
2
n
+
1
=
lim
m
→
∞
m
sin
π
m
=
lim
m
→
∞
π
sin
π
m
π
m
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n+1}\sin {\pi \over 2^{n+1}}=\lim _{m\to \infty }m\sin {\pi \over m}=\lim _{m\to \infty }\pi {\sin {\pi \over m} \over {\pi \over m}}=\pi }
(1)
Мĕншĕн тесен
cos
x
=
1
2
(
1
+
cos
2
x
)
,
x
∈
(
0
,
π
2
)
{\displaystyle \cos {x}={\sqrt {{1 \over 2}(1+\cos {2x})}},x\in \left(0,{\pi \over 2}\right)}
вара
cos
π
2
2
=
1
2
(
1
+
cos
π
2
)
=
1
2
2
{\displaystyle \cos {\pi \over 2^{2}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 2}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2}}}
cos
π
2
3
=
1
2
(
1
+
cos
π
4
)
=
1
2
2
+
2
{\displaystyle \cos {\pi \over 2^{3}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 4}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}
cos
π
2
4
=
1
2
(
1
+
cos
π
8
)
=
1
2
2
+
2
+
2
{\displaystyle \cos {\pi \over 2^{4}}={\sqrt {{1 \over 2}\left(1+\cos {\pi \over 8}\right)}}={1 \over 2}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}
Математикăла индукци меслечĕпе усă курсан çапла пулать
cos
π
2
n
+
1
=
1
2
2
+
2
+
⋯
+
2
⏟
n
,
n
∈
N
{\displaystyle \cos {\pi \over 2^{n+1}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n},n\in \mathbb {N} }
Вара
sin
π
2
n
+
1
=
1
−
cos
2
π
2
n
+
1
=
1
−
(
1
2
2
+
2
+
…
2
⏟
n
)
2
=
1
2
2
−
2
+
⋯
+
2
⏟
n
{\displaystyle \sin {\pi \over 2^{n+1}}={\sqrt {1-\cos ^{2}{\pi \over 2^{n+1}}}}={\sqrt {1-\left({1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2+{\sqrt {2+\dots {\sqrt {2}}}}}} _{n}\right)^{2}}}={1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}}
Ку япалан (1) ăшне кĕртсен, куратпăр
lim
n
→
∞
2
n
+
1
1
2
2
−
2
+
⋯
+
2
⏟
n
=
lim
n
→
∞
2
n
2
−
2
+
⋯
+
2
⏟
n
=
π
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }2^{n+1}{1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\lim _{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+\dots +{\sqrt {2}}}}}} _{n}=\pi }
Мĕн ĕнетермеллине турăмăр. Шалти
3
{\displaystyle {\sqrt {3}}}
радикалшăн, ăна
2
{\displaystyle {\sqrt {2}}}
вырăнне кĕртсен, ĕнентерÿ аналогилле, тульккĕш
2
n
+
1
{\displaystyle 2^{n+1}}
вырăнне
3
⋅
2
n
+
1
{\displaystyle 3\cdot 2^{n+1}}
илмелле.
lim
x
→
c
P
(
x
)
=
P
(
c
)
{\displaystyle \lim _{x\to c}P(x)=P(c)}
, где
P
(
x
)
{\displaystyle P(x)}
— полином .
lim
x
→
0
+
1
x
r
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }
lim
x
→
0
−
1
x
r
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=-\infty }
, енчен r мăшăрсăр чухне тата
+
∞
{\displaystyle +\infty }
пулсан, енчен r мăшăрлă чухне.
Енчен
a
>
1
{\displaystyle a>1}
пулсан:
lim
x
→
0
+
log
a
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log _{a}x=-\infty }
lim
x
→
∞
log
a
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log _{a}x=+\infty }
lim
x
→
−
∞
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }a^{x}=0}
lim
x
→
∞
a
x
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}=+\infty }
lim
x
→
a
sin
x
=
sin
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\sin x=\sin a}
lim
x
→
a
cos
x
=
cos
a
{\displaystyle \lim _{x\to a}\cos x=\cos a}
lim
x
→
0
sin
x
x
=
1
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
— Пĕрремĕш чаплă чикĕ
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
lim
x
→
0
1
−
cos
x
x
2
=
1
2
{\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
lim
x
→
n
±
0
tg
(
π
x
+
π
2
)
=
∓
∞
{\displaystyle \lim _{x\to n\pm 0}\operatorname {tg} \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty }
, енчен n — тулли хисеп .
lim
x
→
∞
a
/
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a/x=0}
, хуть те мĕнле чăн a чухне.
lim
x
→
∞
x
/
a
=
{
∞
,
a
>
0
−
∞
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x/a={\begin{cases}\infty ,&a>0\\-\infty ,&a<0\end{cases}}}
тата вăл
a
=
0
{\displaystyle a=0}
чухне çук.
lim
x
→
∞
x
a
=
{
∞
,
a
>
0
1
,
a
=
0
0
,
a
<
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }x^{a}={\begin{cases}\infty ,&a>0\\1,&a=0\\0,&a<0\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
x
=
{
∞
,
a
>
1
1
,
a
=
1
0
,
−
1
<
a
<
1
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&-1<a<1\end{cases}}}
lim
x
→
∞
a
−
x
=
lim
x
→
∞
1
/
a
x
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }a^{-x}=\lim _{x\to \infty }1/a^{x}=0}
хуть те мĕнле
a
>
1
{\displaystyle a>1}
чухне
lim
x
→
∞
a
x
=
{
1
,
a
>
0
0
,
a
=
0
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\end{cases}}}
тата вăл
a
<
0
{\displaystyle a<0}
чухне çук.
lim
x
→
∞
x
a
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\sqrt[{a}]{x}}=\infty }
хуть те мĕнле
a
>
0
{\displaystyle a>0}
чухне
lim
x
→
∞
log
x
=
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \infty }\log x=\infty }
lim
x
→
0
+
log
x
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }