Больцано — Вейерштрасс теореми

Карл Вейерштрасс

Бернард Больцано

Больцано — Вейерштрасс теореми: $\mathbb {R} ^{n}$ уçлăхри пăнчăсен вĕçсĕр мар хуть те мĕнле умлăн-хыçлăнлăхĕнчен те ай умлăн-хыçлăнлăх уйăрса илме пулать.

Ĕнтĕ $\mathbb {R} ^{n}$ уçлăхра пăнчăсен умлăн-хыçлăнлăхĕ пур, тейĕпĕр:

$x_{1},x_{2},\ldots$

тата ку умлăн-хыçлăнлăх чикĕллĕ тесе шутлăпăр, урăхла каласан

$\|x_{k}\|\leqslant C,\;k=1,2,\ldots$

кунта $C>0$ — пĕр-пĕр хисеп.

Вара ку умлăн-хыçлăнлăхран ай умлăн-хыçлăнлăх уйăрса илме пулать

$x_{k_{1}},x_{k_{2}},\ldots$

ку вара $\mathbb {R} ^{n}$ уçлăхри пĕр-пĕр пăнчă патнелле пĕрĕнет.

Больцано — Вейерштрасс теоремин кунашкал каланăлăхне хăш чухне чикĕллĕ умлăн-хыçлăнлăхăн компактлăхĕн принципĕ теççĕ.

Çав вăхăтрах теоремăн урăхларах каланăлăхĕсем те пур.

Çавăн пекех

• Гейне — Борель лемми
• Компактлă уçлăх

Литература

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — 5-е изд. — М.: «Дрофа», 2003. — Т. 1. — 704 с. — ISBN 5-7107-4119-1.
• Рыбников К. А. История математики. — М.: Издательство Московского университета, 1963. — Т. 2.
• Рудин У. Основы математического анализа = Principles of Mathematical Analysis / пер. с англ. Хавина. — второе, стереотипное. — М.: «Мир», 1976.