Йĕр интегралĕ

Йĕр интегралĕ — лаптак çинчи тата уçлăхри пĕр-пĕр йĕр тăршшĕпе шутласа пыракан интеграл. Уçлăх тенĕрен, мĕн каланине хуть те миçе виçеллĕ (виççĕ е ытларах) уçлăх тĕлĕшпе те анлăлатма пулать. Кунашкал интеграла çавăн пекех кукăр йĕр интегралĕ теме пулать. Анчах та "йĕр" тени хăйех асăннă йĕр кукăр та пулма пултарассине систерет. Çапла вара йĕр интегралĕ тени те çителеклĕ.

Калас пулать, хăнăхнă ахаль интеграл та йĕр интегралех, анчах та унта интегралласси тÿрĕ (кукăр мар) йĕр тăрăх — абсцисса тĕнĕлĕ майăн — пулса пырать.

1-мĕш ретри йĕр интегралĕ

Скалярлă уйри 1-мĕш ретри интеграла иллюстрацилесе кăтартни. Тĕп текстпа танлаштарсан унта урăхларах паллăсемпе усă курнă, самахран, йĕр АВ мар, аb. Тата ытти те

Oxy лаптăк çинче татти-сыпписĕр AB йĕр; тăршшĕ унăн l. Татти-сыпписĕр функци f(x;y), AB йĕрĕн пăнчисем çинче пĕлтерĕшсем йышăнаканскер. AB йĕре M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B пăнчăсемпе n чухлĕ пĕчĕк пĕкĕсем çине пайлăпăр M_i-1M_i; тăршшĕсем вĕсен Δl_i (i=1; 2;…; n). Кашни M_i-1M_i пĕкĕ çинче (x_i; y_i) уйрăм пăнчă суйлăпăр та сумма тупăпăр

$\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$.

Çакна f(x;y) функцин AB çинчи интегралла сумми теççĕ.

Çапла йышăнăпăр: $\lambda =\max \Delta l_{i},1\leq i\leq n$ — чи вăрăм пĕкĕн тăршшĕ. Енчен те $\lambda \rightarrow 0$ ($n\rightarrow \infty$) пулсан, интеграллă суммăсен чикки патне çывхаратпăр, шăпах çавна f(x;y) функцирен AB йĕр тăршшĕпе илнĕ йĕр интегралĕ е f(x;y) функцирен AB йĕр тăршшĕпе илнĕ 1-мĕш ретри йĕр интегралĕ' теççĕ, çапла паллă тăваççĕ

$\int _{AB}f(x;y)\,dl$, е $\int _{L}f(x;y)\,dl$. Çапла вара, çакна куратпăр $\int _{AB}f(x;y)\,dl=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}f(x_{i};y_{i})\Delta l_{i}$.

2-мĕш ретри йĕр интегралĕ

Векторлă уйри 2-мĕш ретри интеграла иллюстрацилесе кăтартни. Мĕншĕн-ха "2-мĕш ретри"? Мĕншĕн тесен кирек мĕнле вектор та координатсен системинче проекцисем çине пайланать

Line-Integral

Oxy лаптăк çинче татти-сыпписĕр AB йĕр тата P(x;y) функци. Татти-сыпписĕр функци P(x;y), AB йĕрĕн пăнчисем çинче пĕлтерĕшсем йышăнаканскер. AB йĕре M₀=A, M₁, M₂,…, M_n=B пăнчăсемпе n чухлĕ пĕчĕк пĕкĕсем çине пайлăпăр M_i-1M_i; тăршшĕсем вĕсен Δx_i (i=1; 2;…; n). Кашни M_i-1M_i пĕкĕ çинче (x_i; y_i) уйрăм пăнчă суйлăпăр та сумма тупăпăр

$\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}$.

кунта $\Delta x_{i}-x_{i-1}$ — M_i-1M_i пĕкĕн пĕтĕм Ox çине ÿкекен проекцийĕ. Кунашкал суммăна P(x;y) функцин x тĕнĕл тĕлĕшпе пыракан интегралла сумми теççĕ.

Çапла йышăнăпăр: $\lambda =\max \Delta x_{i},1\leq i\leq n$ — чи вăрăм пĕкĕн тăршшĕ. Енчен те $\lambda \rightarrow 0$ ($n\rightarrow \infty$) пулсан, интеграллă суммăсен чикки патне çывхаратпăр, шăпах çавна, AB йĕре мĕнлерех таткаланинчен тата (x_i; y_i) пăнчăсене еплерех суйланинчен килменскере, P(x;y) функцирен AB йĕр тăршшĕпе илнĕ тата х координатпа пыракан йĕр интегралĕ е P(x;y) функцирен AB йĕр тăршшĕпе илнĕ тата х координатпа пыракан 2-мĕш ретри йĕр интегралĕ' теççĕ, çапла паллă тăваççĕ

$\int _{AB}P(x;y)\,dx$, е $\int _{L}P(x;y)\,dx$.

Çапла вара, çакна куратпăр $\int _{AB}P(x;y)\,dx=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}P(x_{i};y_{i})\Delta x_{i}$.

Çавăн пекех Q(x;y) функцирен y координатпа илекен интеграл:

$\int _{AB}Q(x;y)\,dy=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}Q(x_{i};y_{i})\Delta y_{i}$,

кунта $\Delta y_{i}$ — M_i-1M_i пĕкĕн пĕтĕм Oy тĕнĕлпе илекен проецийĕ.

2-мĕш ретри йĕр интегралĕ пĕтĕмлетсен çапла курăнать:

$\int _{AB}P(x;y)\,dx+Q(x;y)\,dy=\int _{AB}P(x;y)\,dx+\int _{AB}Q(x;y)\,dy$

2-мĕш ретри йĕр интегралĕ виçĕ виçеллĕ уçлăхра çапла курăнать: $\int _{AB}P(x;y;z)\,dx+Q(x;y;z)\,dy+R(x;y;z)\,dz$

Вуламалли

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 1981; 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 369 Satz 180.1, S. 391 Satz 184.1, S. 393 Satz 185.1
• Выгодский, М. Я. Дифференцирование и интегрирование функций нескольких аргументов // Справочник по высшей математике. — М.: Астрель, АСТ, 2005. — 991 с. — 10 000 экз. — ISBN 5-17-012238-1, 5-271-03651-0.
• Ильин, В. А., Позняк, Э. Г. Глава 2. Двойные и n-кратные интегралы // Основы математического анализа. — 4. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — Т. 2. — 464 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — 5000 экз. — ISBN 5-9221-0131-5.
• Кудрявцев, Л. Д. Глава 6. Интегральное исчисление функций многих переменных // Курс математического анализа. — М.: Высшая школа, 1981. — Т. 2. — 584 с.
• Виноградов И. М. (гл. ред.). Интеграл // Математическая энциклопедия. — М., 1977. — Т. 2.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1969.
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 1976.