Умсăнарсен таблици

Умсăнарсен таблици (тапăлĕ) — тĕрлĕ йышши чи ансат элементарлă функцисен паллăмарлахлă интегралĕсене (эппин, умсăнарĕсене те) йĕркепĕрĕн вырнаçтарса тухни. Ку ыйтупа ялан тенĕ пек кирлĕ формулăсен пуххи. Математикăлла анализра икĕ чи кирлĕ операци пур:

• Функцисен тухсатăранне тупасси,
• Функцисен паллăмарлăхлă интегралне тупасси.

Иккĕмĕш операцире тупсăмĕ элементарлă функци пулмасса та пултарать. Хуть те мĕнле элементарлă функцин те умсăнарĕсем вĕçĕ-хĕррисĕр. Çав вĕçĕ-хĕррисĕрлĕхе кунта черетлесе тухакан формулăсенче $C$ константа палăртать.

Функцисене интегралламалли йĕркевсем

$\int cf(x)\,dx=c\int f(x)\,dx$

$\int [f(x)+g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx$

$\int [f(x)-g(x)]\,dx=\int f(x)\,dx-\int g(x)\,dx$

$\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\,df(x)$

$\int f(ax+b)\,dx={1 \over a}F(ax+b)\,+C$

Элементарлă функцисен интегралĕсем

Рационаллă функцисем

$\int \!0\,dx=C$ (Нулĕн умсăнарĕ — константа, хуть те мĕнле чикĕсенче те нуль интегралĕ нуль пулать)

$\int \!a\,dx=ax+C$

$\int \!x^{n}\,dx={\begin{cases}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\\ln \left|x\right|+C,&n=-1\end{cases}}$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}={1 \over a}\,\operatorname {arctg} \,{\frac {x}{a}}+C=-{1 \over a}\,\operatorname {arcctg} \,{\frac {x}{a}}+C$

Кĕскен ăнлантарни: Улăштару тăватпăр: $x=a\operatorname {tg} t$, вара

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatorname {tg} t) \over a^{2}+(a\operatorname {tg} t)^{2}}={1 \over a}\int \!{\cos ^{2}t \over \cos ^{2}t}dt={t \over a}+C={1 \over a}\operatorname {arctg} {x \over a}+C.$

$\int \!{dx \over {x^{2}-a^{2}}}={1 \over 2a}\ln \left|{x-a \over {x+a}}\right|+C$ («çÿллĕ логарифм»)

Логарифмсем

$\int \!\ln {x}\,dx=x\ln {x}-x+C$

$\int {\frac {dx}{x\ln x}}=\ln |\ln x|+C$

$\int \!\log _{b}{x}\,dx=x\log _{b}{x}-x\log _{b}{e}+C=x{\frac {\ln {x}-1}{\ln b}}+C$

Экспонентăлла функцисем

$\int \!e^{x}\,dx=e^{x}+C$

$\int \!a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln {a}}}+C$

Иррационаллă функцисем

Çавăн пекех: Дифференциаллă бином

$\int \!{dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arcsin {x \over a}+C$

$\int \!{-dx \over {\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\arccos {x \over a}+C$

$\int \!{dx \over x{\sqrt {x^{2}-a^{2}}}}={1 \over a}\,\operatorname {arcsec} \,{|x| \over a}+C$

$\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}+a}}}=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}+a}}}\right|+C$ («вăрăм логарифм»)

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|)+C$

Кĕскен ăнлантарни:

Калăпăр $a<0$, малалла çавăн пекех $x\geq 0$ тесе шутлăпăр. Гиперболăлла функцисемпе усă курса улăштару кĕртĕпĕр: $x={\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t,t\geq 0$

${\begin{aligned}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\left({\operatorname {sh} 2t \over 2}-t\right)+C_{1}\\&={-a \over 2}(\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t-t)+C_{1}\end{aligned}}$

Анчах

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x{{\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operatorname {sh} t+\operatorname {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Çавăнпа

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Çапла вара, юлашки вакăн айĕн логарифмне С константа шутне кĕртсеН, куратпăр

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Енчен те $x<0$, вара $x=-t,t>0$ улăштарса, интеграла пăхса тухни пек тăватпăр. Енчен те $a>0$, вара $x={\sqrt {a}}\operatorname {sh} t$ улăштарса, унчченхи пек шухăшларăшсем йĕркелесе, унчченхи патнех пырса тухатпăр.

Тригонометрилле функцисем

$\int \!\sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \!\cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C$

Кĕскен ăнлантарни: $\int \!\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}dx=-\int {\frac {d(\cos x)}{\cos x}}=-\ln |\cos x|+C$

$\int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

Кĕскен ăнлантарни: $\int \!\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}dx=\int {\frac {d(\sin x)}{\sin x}}=\ln |\sin x|+C$

$\int \!\sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\operatorname {tg} \,{x}\right|}+C$

$\int \!\csc {x}\,dx=-\ln {\left|\csc {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+C$

$\int \!\sec ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \cos ^{2}x}=\operatorname {tg} \,x+C$

$\int \!\csc ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C$

$\int \!\sec {x}\,\operatorname {tg} \,{x}\,dx=\sec {x}+C$

$\int \!\csc {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\csc {x}+C$

$\int \!\sin ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x-\sin x\cos x)+C$

$\int \!\cos ^{2}x\,dx={\frac {1}{2}}(x+\sin x\cos x)+C$

$\int \!\sin ^{n}x\,dx=-{\frac {\sin ^{n-1}{x}\cos {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\sin ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

$\int \!\cos ^{n}x\,dx={\frac {\cos ^{n-1}{x}\sin {x}}{n}}+{\frac {n-1}{n}}\int \!\cos ^{n-2}{x}\,dx,n\in \mathbb {N} ,n\geqslant 2$

$\int \!\operatorname {arctg} \,{x}\,dx=x\,\operatorname {arctg} \,{x}-{\frac {1}{2}}\ln {\left(1+x^{2}\right)}+C$

Гиперболăлла функцисем

$\int \operatorname {sh} \,x\,dx=\operatorname {ch} \,x+C$

$\int \operatorname {ch} \,x\,dx=\operatorname {sh} \,x+C$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {ch} ^{2}\,x}}=\operatorname {th} \,x+C$

$\int {\frac {dx}{\operatorname {sh} ^{2}\,x}}=-\operatorname {cth} \,x+C$

$\int \operatorname {th} \,x\,dx=\ln |\operatorname {ch} \,x|+C$

$\int \operatorname {csch} \,x\,dx=\ln \left|\operatorname {th} \,{x \over 2}\right|+C$

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,\operatorname {sh} \,x+C$

çавăн пекех $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,(e^{x})+C$

çавăн пекех $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C$

$\int \operatorname {cth} \,x\,dx=\ln |\operatorname {sh} \,x|+C$

Кĕскен ăнлантарни: $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} \,x+C$ формулăна ĕнентерни:

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2}x}dx=\int {d(\operatorname {sh} x) \over 1+\operatorname {sh} ^{2}x}=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} x+C$

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$ формулăна ĕнентерни: $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x}}=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\operatorname {arctg} (e^{x})+C$.

$\int \operatorname {sech} \,x\,dx=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C$ формулăна ĕнентерни:

${\begin{aligned}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^{2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}(1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatorname {th} {x \over 2}) \over 1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}}\right)+C\end{aligned}}$

Ятарлă функцисем

$\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x$

$\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x$

$\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}$

$\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)$

$\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x$

$\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x)$

Çавăн пекех

• Тухсатăрансен таблици