Пурлăх хисепĕ

Натураллă хисепсем — йĕркипе шутланă чухне пулса тухакан хисепсем.

Натураллă хисепсене икĕ майлă палăртаççĕ:

• япаласене шутласа пыни (нумĕрлени) пек (пĕрремĕш, иккĕмĕш, виççĕмĕш…) —тĕнчери пур çĕршывсенче (Раççейре те) пĕтĕмĕшле çапла йышăннă.

• япаласен шутне кăтартса (япаласем çук, пĕр япала, икĕ япала…) — кăна Бурбаки ĕçĕсенче пĕтĕмĕшле йышăннă, унта натураллă хисепсене вĕçсĕр мар йышсен хăвачĕ пек палăртаççĕ.

Минуслă хисепсем тата тулли мар хисепсем — натураллă хисепсем пулмаççĕ.

Натураллă хисепсен йышне çапла символпа кăтартаççĕ: $\mathbb {N}$.

Натураллă хисепсен йышĕ вĕçĕ-хĕррисĕр — яланах кирек епле натураллă хисепрен пысăкраххи тупăнать.

Пурлăх хисепĕсемпе йĕркипе шутлама усă кураççĕ (пĕр панулми, икĕ панулми, виçĕ панулми т. ыт. те).

Пеано аксиомисем

Натураллă хисепсен теорийĕ Пеано аксиомисем çинче никĕсленет (теорилле арифметика).

$X$ хисепе ун хыççăнхи хисепе палăртма лартакан $S$ функцине кĕртĕпĕр.

1. $1\in \mathbb {N}$ ($1$ пурлăх хисепĕ пулать);

1. Эхер $x\in \mathbb {N}$, то $S(x)\in \mathbb {N}$ (Пурлăх хисепĕ хыççăнхи хисепĕ çаплах пурлăхли шутланать);

1. $\nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)$ (1 кирек епле пурлăх хисепĕ хыççăн пулмасть);

1. Эхер $S(b)=a$ тата $S(c)=a$, çапла $b=c$ (эхер пурлă хисеп $a$ хыççăнах $b$ хисеп хыççăнхи пекех, çаплах $c$ хыççăн та пулать пулсан, ĕнтĕ $b=c$) пулать;

1. # Индукци аксиоми. $P(n)$ $n$ пурлăх хисепĕнчен килекен пĕр вырăнлă предикат пултăр. Вара:

эхер те $P(1)$ тата $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$ пулсан, çапла пулать $\forall n\;P(n)$

(Эхер хăш $P$ çирĕлетни $n=1$ (индукци бази) тĕрĕс шутланать тата кирек епле $n$ чух тата $P(n)$ тĕрĕс пулсан, $P(n+1)$ та тĕрĕс пулĕ (индукциллĕ ăнкарту), ĕнтĕ $P(n)$ кирек епле $n$ пурлăх хисепĕшĕн тĕрĕс пулса тăрать.

Асăрхаттарни

Хăш чух, ют çĕр чĕлхисенчен куçарнă кĕнекесенче, пĕрремĕш тата виççĕмĕш аксиомăсенче $1$-не $0$ çине яраççĕ.

Çак чух вара «нуль» хисепе пурлăх хисепĕ вырăнне хумалла.

Палăртавсем

Вырăс литературинче яланах нуль хисепе пурлăх хисепĕсен шутĕнчен кăларнă $0\notin \mathbb {N}$, пурлăх хисепĕсен нумайлăхĕ, нульпе пĕрли $\mathbb {N} _{0}$ палăртаççĕ.

Енчен те пурлăх хисепĕсен палăртăвне нуль кĕртнĕ пулсан, вара пурлăх хисепĕсен нумайлăхне çапла çыраççĕ $\mathbb {N}$, нульсăр $\mathbb {N} ^{*}$.

Йышсен теорийĕнчи палăртав

Нумайлăх теорине пăхăнса, математика системисене кăткăс ăсталама епле кирлĕ пĕртен-пĕр объекчĕ нумайлăх пулать.

Çак енпе, пурлăх хисепĕсене нумайлах палăртăвĕсенчен, икĕ йĕркене тытса пырса кăлараççĕ:

• $0=\varnothing$

• $S(n)=n\cup \left\{n\right\}$

Çакăн пек хушса кăларнă хисепсене ординаллисем теççĕ.

Темиçе пĕрмĕш ординаллă хисепсем тата вĕсене тивĕçлĕ пурлăх хисепĕсем:

• $0=\varnothing$

• $1=\left\{\varnothing \right\}$

• $2={\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}$

• $3={\Big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \}}{\Big \}}$

Пурлăх хисепĕсемпе операцисем туни

Пурлăх хисепĕсен хупăнчăклă операцийĕсем (вĕçĕмлĕ хисепне пурлăх хисепĕсен нумайлахĕнчен кăларман операци) шутне çак арифметикăллă операцисем кĕреççĕ:

• Хушмалли. Хушăнакан + Хушăнакан = Сумлăхĕ

• Хутламалли. Хутланакан * Хутланакан = Хутласа хуни

• Капаша хăпартни(капаштарни) $a^{b}$, ăçта a — капашăн тĕпĕ, b — капашăн кăтартăвĕ. Эхер тĕпĕ тата кăтартăвĕ пурлăхлă, ĕнтĕвĕçĕмлĕ хисепĕ те пурлăхлă пулать.

• Кăларни. Сахалланаканĕ $-$ Кăлараканĕ = Уйрăлăвĕ. Сахалланаканĕ $-$ Кăлараканĕ = Уйрăлавĕ. Кун чухне сахаллаканĕ кăлараканĕнчен пĕчĕкрех пулмалла (е унпа тан, эхер те 0 пурлăх хисепĕ вырăнне хурсан).

• Пайлани. Пайланакан / Пайлакан = (Пайланăвĕ, Юлни).

Хушас тата хутлас операцисем тĕп никĕслисем шутланаççĕ. Сăмахран, тулли хисепсен ункине хушас тата хутлас бинар операцисемпе палăртаççĕ.

Тĕп палăрăмсем

1. Хушмаллин коммутативлăхĕ. $\,\!a+b=b+a$
2. Хутланин коммутативлăхĕ $\,\!ab=ba$
3. Хушмаллин ассоциативлăхĕ. $\,\!(a+b)+c=a+(b+c)$
4. Хутланин ассоциативлăхĕ. $\,\!(ab)c=a(bc)$
5. Хутланин хушмалли енчен дистрибутивлăхĕ. $\,\!{\begin{cases}a(b+c)=ab+ac\\(b+c)a=ba+ca\end{cases}}$

Пурлăх хисепĕсем чăваш чĕлхинче

• 1 пуçласа 10 çитиччен — пĕрре (1), иккĕ (2), виççĕ (3), тăваттă (4), пиллĕк (5), улттă (6), çиччĕ (7), саккăр (8), тăххăр (9), вуннă (10).

• 11 пуçласа 20 çитиччен — вунпĕр (11), вуниккĕ (12), вунвиççĕ (13), вунтăваттă (14), вунпиллĕк (15), вунулттă (16), вунçиччĕ (17), вунсаккăр (18), вунтăххăр (19), çирĕм (20).

• 30 пуçласа 90 çитиччен — вăтăр (30), хĕрĕх (40), аллă (50), утмăл (60), çитмĕл (70), сакăрвуннă (80), тăхăрвуннă (90).

• 100 пуçласа 900 çитиччен — çĕр (100), икçĕр (200), виççĕр (300), тăватçĕр (400), пиллĕкçĕр (500), ултçĕр (600), çичçĕр (700), сакăрçĕр (800), тăхăрçĕр (900).

• Мăн хисепсем — пин, миллион, миллиард, триллион.

Çаван пекех пăхăр

• Тулли хисеп
• Ваклă хисеп
• Япалалăхла хисеп

Каçăсем

• http://Lib.Mexmat.Ru — «Поиск книг по теме»
• https://web.archive.org/web/20070207023627/http://www.sgu.ru/ie/mehmat/matin/R1-1.htm