Ытарлă пĕрчĕ

$i$ комплекслă лаптăкра. Чăн хисепсем вертикаллĕ йĕр çинче выртаççĕ, сăнарлă хисепсем — горизонталлĕ йĕр çинче

Сăнарлă пĕрчĕ е ытарлă пĕрчĕ — тытăмлă хисеп (комплексла хисеп), икккĕмĕш капашра вăл минус пĕррепе (—1) танлашать.

Математикăра тата ытти ăславсенче сăнарлă пĕрчĕне i е j паллăпа кăтартаççĕ.

Çапла вара, ытарлă $i$ пĕрчĕ вăл — тăваткалĕ минус пĕррепе (−1) танлашакан хисеп. Урăхла каласан, $x^{2}+1=0$   е   $x^{2}=-1$ танлăхăн тупсăмĕсенчен пĕри, тепĕр тупсăмĕ — минус $i$ ($-i$), — çавна кĕртсе лартса пит çăмăллăн тĕрĕслеме пулать.

Тытăмлă хисепсен тĕслĕхĕсем

Ытарлă пĕрчĕн капашĕсем

$i$ степенĕсем çапла пĕрин хыççăн тепри тухаççĕ:

$\ldots$

$i^{-3}=i$

$i^{-2}=-1$

$i^{-1}=-i$

$i^{0}=1$

$i^{1}=i$

$i^{2}=-1$

$i^{3}=-i$

$i^{4}=1$

$\ldots$

Кирек епле степеньшĕн çапла çырма пулать:

$i^{4n}=1$

$i^{4n+1}=i$

$i^{4n+2}=-1$

$i^{4n+3}=-i.$

унта n — кирек епле тулли хисеп.

Çавăнтан: $i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}$ унта mod 4 — 4 çине пайланинчен юлни.

Эйлер пĕртанлăхĕнчен тухни $i^{i}$ хисеп чăннине пĕлтерет:

$i^{i}={e^{(i\pi /2)i}}=e^{i^{2}\pi /2}=e^{-\pi /2}=0{,}20787957635\ldots$.

Тĕрĕсрех, тытăмлă анализра степене хăпартни: $x^{y}=\exp(y\cdot \operatorname {Ln} x)$ нумай пĕлтерешлĕ функци шутланать, çавăнпа

$i^{i}=e^{-{\frac {\pi (1+4n)}{2}}}$, унта $n\in \mathbb {Z}$.

Çаплах тĕрĕс: $(-i)^{(-i)}=i^{i}$.

Факториал

i ытарлă пĕрчĕн факториалне 1 + i аргументлĕ гамма-функци пĕлтерĕшĕ пек палăртма пулать:

$i!=\Gamma (1+i)\approx 0.4980-0.1549i.$

Çаплах

$|i!|={\sqrt {\pi \over \sinh(\pi )}}\approx 0.521564....$

Сăнарлă пĕрчĕн тымарĕсем

Ытарлă пĕрчĕн тăваткал тымарĕсем

Ытарлă пĕрчĕн куб тымарĕсем (виçкĕтеслĕх тăррисем)

Тытăмлă хисепсен уйĕнче n-лĕ степеньлĕ тымарăн n тупсăм. Тытăмлă лаптакра ытарлă пĕрчĕн тымарĕсем пĕрчеллĕ радиуслă çавракăша çырнă тĕрĕс n-кĕтеслĕхĕн тăррисем.

$u_{k}=\cos {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}}+i\ \sin {\frac {{\frac {\pi }{2}}+2\pi k}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Çак Муавр формулинчен тата ытарлă пĕрчĕне тригонометрилле (:$i=\cos \ {\frac {\pi }{2}}+i\ \sin \ {\frac {\pi }{2}}$) кăтартма пултармаллинчен тухать.

Сăмахран, ${\sqrt {i}}=\left\{{\frac {1+i}{\sqrt {2}}};\ {\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}\right\}$ тата ${\sqrt[{3}]{i}}=\left\{-i;\ {\frac {i+{\sqrt {3}}}{2}};\ {\frac {i-{\sqrt {3}}}{2}}\right\}$

Çаплах сăранлă пĕрчĕн тымарĕсене қăтартуллă евĕр çырма пулать:

$u_{k}=e^{\frac {({\frac {\pi }{2}}+2\pi k)i}{n}},\quad k=0,1,...,n-1$

Çав.пекех

• Иккĕлле хисепсем
• Комплекслă анализ
• Кватернион
• Гипертытăмлă хисеп

Вуламалли

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.

Каçăсем

• Мнимая единица // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.