Пеанолла тăхăм

Пеанолла тăхăм ― функцин тăхăмĕ тенин анлăлатăвĕсенчен пĕри.

Ак çакнашкал танлăх пур тейĕпĕр

$f(x)=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+\cdots +{\frac {a_{r}}{r!}}(x-x_{0})^{r}+\gamma (x)(x-x_{0})^{r}$

кунта $a_{0},a_{1},\dots ,a_{r}$ ― константăсем тата $\gamma (x)\to 0$, енчен те $x\to x_{0}$ тата $\gamma (x_{0})=0$ пулсан. Кун пек чухне $a_{r}$ хисепе $f$ функцин $x_{0}$ пăнчăри тата $r$ ретри пĕтĕмĕшле Пеанолла тăхăмĕ теççĕ.

Паллă тăвасси: $f_{(r)}(x_{0})=a_{r}$, уйрăммăн илсен $f_{(0)}(x_{0})=f(x_{0})$, $f_{(1)}(x_{0})=f'(x_{0})$.

Палăрăмсем

• Енчен те $f^{(r)}(x_{0})$ пур пулсан, $k\leq r$ тĕлĕшпе $f_{(k)}(x_{0})$ текенни те пур.

• Енчен те вĕçлĕ, кулленлĕхле тата икĕ енлĕ $f^{(r)}(x_{0})$ тăхăм пулсан, ак çакăн пек пулать: $f_{(r)}(x_{0})=f^{(r)}(x_{0})$. Кутăнла калани $r>1$ чухне тĕрĕс мар: $f(x)=x^{n}D(x)$ функцишĕн, кунта $D$ — Дирихле функцийĕ енĕпе мĕнпур $f_{(r)}(0)=0$ леш $r<n$ пулсан, çав вăхатрах $f^{(r)}(0)$ тенине мĕнппур $r>1$ тĕлĕшпе палăртман.